Question

已知橢圓C：的右焦點為F（1，0），且點（-1，）在橢圓C上．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知動直線l過點F，且與橢圓C交于A，B兩點，試問x軸上是否存在定點Q，使得恒成立？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的定義求出a的值，進而可求b的值，即可得到橢圓的標準方程；
（2）先利用特殊位置，猜想點Q的坐標，再證明一般性也成立即可．
解答：解：（1）由題意，c=1
∵點（-1，）在橢圓C上，∴根據(jù)橢圓的定義可得：2a=，∴a=
∴b²=a²-c²=1，
∴橢圓C的標準方程為；
（2）假設(shè)x軸上存在點Q（m，0），使得恒成立
當直線l的斜率為0時，A（，0），B（-，0），則=-，∴，∴m=①
當直線l的斜率不存在時，，，則•=-，∴
∴m=或m=②
由①②可得m=．
下面證明m=時，恒成立
當直線l的斜率為0時，結(jié)論成立；
當直線l的斜率不為0時，設(shè)直線l的方程為x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
直線方程代入橢圓方程，整理可得（t²+2）y²+2ty-1=0，∴y₁+y₂=-，y₁y₂=-
∴=（x₁-，y₁）•（x₂-，y₂）=（ty₁-）（ty₁-）+y₁y₂=（t²+1）y₁y₂-t（y₁+y₂）+=+=-
綜上，x軸上存在點Q（，0），使得恒成立．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查存在性問題，解題的關(guān)鍵的先猜后證，有一定的難度．