Question

在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M是棱AB的中點．

(1)求證：BC∥平面A₁MD₁；

(2)求二面角A₁－D₁M－C的大�。�

Answer 1

答案：
解析：

解法1：(1)∵BC∥B1C1，B1C1∥A1D1，∴BC∥A1D1． 　　又A1D1平面A1MD1，BC平面A1MD1 　　∴BC∥平面A1MD1；　5分 　　(2)設平面A1MD1與棱DC相交于點N， 　　連結D1N，則點N是DC的中點． 　　∴A1D1⊥平面D1DCC1，A1D1平面A1MND1 　　∴平面A1MND1⊥平面D1DCC1， 　　且D1N是交線． 　　過點C作CH⊥D1N于H點， 　　則CH⊥平面A1MND1， 　　再過H作HO⊥D1M于O點， 　　連結CO，根據三垂線定理得CO⊥D1M， 　　從而∠COH是二面角C－D1M－N， 　　也就是所求二面角A1－D1M－C的補二面角的平面角　8分 　　設正方體的棱長為2，則在， 　　所以有 　　在，所以有 　　 　　又由于可求得 　　 　　所以在 　　進而有 　　根據三角形面積公式得 　　 　　從而在 　　因此所求的二面角　12分 　　解法2：分別以直線DA、DC、DD1為x、y、z軸建立空間直角坐標系D－xyz，并設　　正方體的棱長為2，則相關點的坐標分別為 　　A1(2，0，2)，D1(0，0，2)，C(0，2，0)，M(2，1，0)　6分 　　 　　　8分 　　再設， 　　 　　令　10分 　　設是鈍角，并且有 　　， 　　即為所求　12分