矩形ABCD與矩形ABEF有公共邊AB，且平面ABCD⊥平面ABEF，如圖，又FD=2，AD=1，EF=
3
．
（1）證明AE⊥平面FCB．
（2）求異面直線BD與AE所成角的余弦值．
（3）若M是棱AB的中點，在線段FD上是否存在一點N，使得MN∥平面FCB？證明你的結(jié)論．
分析：（1）根據(jù)兩個平面垂直的性質(zhì)定理證明BC⊥平面ABEF，可得 BC⊥AE，再證明矩形ABEF為正方形，可得 AE⊥BF，由直線和平面平行的判定定理證得AE⊥平面FCB．
（2）由于
DA
=
DB
+
BE
+
EA
，平方利用兩個向量的數(shù)量積的定義可得cos＜
DB 
，
EA
＞=-
6
4
，從而得到異面直線BD與AE所成角的余弦值
6
4
．
（3）分別取P，Q為DC及AF的中點，可證平面MPQ∥平面FBC，從而N為平面MPQ與FD的交點，易知N為FD的中點，由此得出結(jié)論．
解答：解：（1）證明：∵矩形ABCD與矩形ABEF有公共邊AB，平面ABCD⊥平面ABEF，可得BC⊥平面ABEF，∴BC⊥AE．
又FD=2，AD=1，EF=
3
，∴AF=
FD2-AD2
=
3
=EF，∴矩形ABEF為正方形，∴AE⊥BF．
而BC、BF是平面FCB內(nèi)的兩條相交直線，∴AE⊥平面FCB．
（2）∵
DA
=
DB
+
BE
+
EA
，平方可得 1=4+3+6+2
DB
•
BE
+2
DB
•
EA
+2
BE
•
EA
，
即 1=13+0+2×2
6
cos＜
DB 
，
EA
＞+2×
3
×
6
cos135°，
故 有 cos＜
DB 
，
EA
＞=-
3
6
12
=-
6
4
，∴異面直線BD與AE所成角的余弦值
6
4
．
（3）分別取P，Q為DC及AF的中點，得MP∥BC，且MQ∥BF，故平面MPQ∥平面FBC，從而N為平面MPQ與FD的交點，易知N為FD的中點，
故在線段FD上存在中點N，使得MN∥平面FCB成立．
點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，證明線面垂直的方法，異面直線所成的角的定義和求法，直線和平面平行的判定定理的應用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，橢圓C0：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0，a，b為常數(shù)），動圓C1：x2+y2=
t
2
1
，b＜t1＜a．點A1，A2分別為C0的左，右頂點，C1與C0相交于A，B，C，D四點．
（Ⅰ）求直線AA1與直線A2B交點M的軌跡方程；
（Ⅱ）設動圓C2：x2+y2=
t
2
2
與C0相交A′，B′，C′，D′四點，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等，證明：
t
2
1
+
t
2
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•遼寧）如圖，已知橢圓C0：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0，a，b為常數(shù))，動圓C1：x2+y2=
t
2
1
，b＜t1＜a．點A1，A2分別為C0的左右頂點，C1與C0相交于A，B，C，D四點．
（I）求直線AA1與直線A2B交點M的軌跡方程；
（II）設動圓C2：x2+y2=
t
2
2
與C0相交于A'，B'，C'，D'四點，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD與矩形A'B'C'D'的面積相等，證明：
t
2
1
+
t
2
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖,矩形ABCD與矩形AB′C′D全等,且所在平面所成的二面角為α,記兩個矩形對角線的交點分別為Q,Q′,AB=a,AD=b.

(1)求證:QQ′∥平面ABB′;

(2)當b=2a,且α=時,求異面直線AC與DB′所成的角;

(3)當a＞b,且AC⊥DB′時,求二面角α的余弦值(用a,b表示).

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年廣東省珠海一中高二（上）期中數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

如圖，橢圓C：，a，b為常數(shù)），動圓，b＜t1＜a．點A1，A2分別為C的左，右頂點，C1與C相交于A，B，C，D四點．
（Ⅰ）求直線AA1與直線A2B交點M的軌跡方程；
（Ⅱ）設動圓與C相交A′，B′，C′，D′四點，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等，證明：為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年遼寧省高考數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓C：，動圓C1：．點A1，A2分別為C的左右頂點，C1與C相交于A，B，C，D四點．
（I）求直線AA1與直線A2B交點M的軌跡方程；
（II）設動圓C2：與C0相交于A'，B'，C'，D'四點，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD與矩形A'B'C'D'的面積相等，證明：為定值．

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