Question

已知f(x)＝ax³＋bx²＋cx(a≠0)在x＝±1時(shí)取得極值，且f(1)＝－1.

(1)試求常數(shù)a、b、c的值；

(2)試判斷x＝±1是函數(shù)的極小值點(diǎn)還是極大值點(diǎn)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

(1)f ′(x)＝3ax²＋2bx＋c，

∵x＝±1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，且f(x)在定義域內(nèi)任意一點(diǎn)處可導(dǎo)．

∴x＝±1使方程f ′(x)＝0，

即為3ax²＋2bx＋c＝0的兩根，

由根與系數(shù)的關(guān)系得

又f(1)＝－1，

∴a＋b＋c＝－1③

由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.

(2)由(1)知f(x)＝x³－x，

∴f ′(x)＝x²－＝(x－1)(x＋1)，

當(dāng)x>1或x<－1時(shí)，f ′(x)>0，

當(dāng)－1<x<1時(shí)，f ′(x)<0，

∴函數(shù)f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上為增函數(shù)，

在(－1,1)上為減函數(shù)，

∴當(dāng)x＝－1時(shí)，函數(shù)取得極大值f(－1)＝1；

當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)取得極小值f(1)＝－1.