(1)在AB上求一點D,使沿折線PDAO修建公路的總造價最;
(2)對于(1)中得到的點D,在DA上求一點E,使沿折線PDEO修建公路的總造價最;
(3)在AB上是否存在兩個不同的點D′,E′,使沿折線.PD′E′O修建公路的總造價小于(2)中得到的最小總造價?證明你的結(jié)論.
a)
第19題圖
(文)如圖b所示,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∠ADC=90°,△ABC為等邊三角形,且AA1=AD=DC=2.
(1)求AC1與BC所成角的余弦值;
(2)求二面角C1-BD-C的大。
(3)設M是BD上的點,當DM為何值時,D1M⊥平面A1C1D?并證明你的結(jié)論.
第19題圖
答案:(理)(1)如圖a所示,PH⊥α,HBα,PB⊥AB,由三垂線定理逆定理知,AB⊥HB,所以∠PBH是山坡與α所成二面角的平面角,則∠PBH=θ,PB==1.
設BD=x(km),0≤x≤1.5.
則PD=∈[1,2].
記總造價為f1(x)萬元,據(jù)題設有
f1(x)=(PD2+1+AD+AO)a
=(x2)a
=(x)2a+()a
當x=,即BD=(km)時,總造價f1(x)最小.
(2)設AE=y(km),0≤y≤,總造價為f2(y)萬元,則
f2(y)=[PD2+1+]a
=()a+a.
第19題圖
則f′2(y)=()a,由f′2(y)=0,得y=1.
當y∈(0,1)時,f′2(y)<0,f2(y)在(0,1)內(nèi)是減函數(shù);
當y∈(1,)時,f′2(y)>0,f2(y)在(1,)內(nèi)是增函數(shù).
故當y=1,即AE=1(km)時,總造價f2(y)最小,且最小總造價為萬元.
(3)解法一:不存在這樣的點D′,E′.
事實上,在AB上任取不同的兩點D′,E′.為使總造價最小,E顯然不能位于D′與B之間.故可設E′位于D′與A之間,
且BD′=x1(km),AE′=y1(km),0≤xl+y2≤,
總造價為S萬元,
則S=()a.
類似于(1)、(2)討論知,≥,≥,
當且僅當x1=,y1=1同時成立時,上述兩個不等式等號同時成立,此時BD′=(km),AE=1(km),S取得最小值a,點D′,E′分別與點D,E重合,所以不存在這樣的點D′,E′,使沿折線PD′E′O修建公路的總造價小于(2)中得到的最小總造價.
解法二:同解法一得
S=()a
=(x1)2a+[3(-y1)+(+y1)]·a+a
≥×.
當且僅當x1=且3(-y1)=(+y1),
即x1=,y1=1同時成立時,S取得最小值而a,以下同解法一.
(文)(1)∵ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱,
∴C1C∥B1B,且C1C=B1B,
∴四邊形C1CBB1是平行四邊形,
∴C1B1∥CB,
即∠AC1B1(或其補角)是AC1與BC所成的角.
連接AB1,在△AB1C1中,AC1=AB1=,C1B1=,
∴cos∠AC1B1==.
故AC1與BC所成角的余弦值為.
(2)設AC∩BD=0,則BO⊥AC,連接C1O,如圖b所示.
∵CC1⊥平面ABCD,
∴OC為C1O在平面ABCD內(nèi)的射影,
∴C1O⊥BD,
則∠C1OC為二面角C1-BD-C的平面角.
在Rt△C1CO中,OC=,C1C=2,
tan∠C1OC=,
故二面角C1-BD-C的大小為aretan.
(3)在BD上取點M,使得OM=OD,連接AM,CM
∵AD=DC,∠ADC=90°
又DO⊥AC,且AO=OC,
∴CM=AM=AD.
∴四邊形AMCD是一個正方形.
可證D1M⊥A1D,D1M⊥A1C1,又A1D∩A1C1=A1,
∴D1M⊥平面A1C1D,此時DM=.
故當DM=時,有D1M⊥平面A1C1D.
第19題圖(續(xù)).
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(06年北京卷理)(06年北京卷)下圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡化模型,在某高峰時段,單位時間進出路口的機動車輛數(shù)如圖所示,圖中分別表示該時段單位時間通過路段的機動車輛數(shù)(假設:單位時間內(nèi),在上述路段中,同一路段上駛?cè)肱c駛出的車輛數(shù)相等),則20,30;35,30;55,50 ( )
(A) (B)
(C) (D)
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科目:高中數(shù)學 來源:2009-2010學年度新課標高二上學期數(shù)學單元測試4 題型:解答題
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(Ⅰ)求k的值;
(Ⅱ)求
(文)某村計劃建造一個室內(nèi)面積為800m2的矩形蔬菜溫室. 在溫室內(nèi),種植蔬菜時需要沿左、右兩側(cè)與前側(cè)內(nèi)墻各保留1m寬的空地作為通道,后側(cè)內(nèi)墻不留空地(如圖所示),問當溫室的長是多少米時,能使蔬菜的種植面積最大?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(2010湖南理數(shù))19.(本小題滿分13分)
為了考察冰川的融化狀況,一支科考隊在某冰川上相距8km的A,B兩點各建一個考察基地。視冰川面為平面形,以過A,B兩點的直線為x軸,線段AB的的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系(圖6)在直線x=2的右側(cè),考察范圍為到點B的距離不超過km區(qū)域;在直線x=2的左側(cè),考察范圍為到A,B兩點的距離之和不超過km區(qū)域。
(Ⅰ)求考察區(qū)域邊界曲線的方程;
(Ⅱ)如圖6所示,設線段P1P2,P2P3是冰川的部分邊界線(不考慮其他邊界線),當冰川融化時,邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動,第一年移動0.2km,以后每年移動的距離為前一年的2倍,求冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的最短時間。
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