Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+4在（-∞，0）上是增函數(shù)，在（0，1）上是減函數(shù)．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）當(dāng)x≥0時(shí)，曲線y=f（x）總在直線y=a²x-4上方，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意得：f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，在（0，1）上是減函數(shù)，所以當(dāng)x=0時(shí)，f（x）有極大值，即f′（x）=0，即b=0．
（Ⅱ）因?yàn)閒（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，在（0，1）上是減函數(shù)，所以-

2

3

a≥1，即a≤-

3

2

．因?yàn)榍�線y=f（x）在直線y=a²x-4的上方，設(shè)g（x）=（x³+ax²+4）-（a²x-4），
所以在x∈[0，+∝）時(shí)，g（x）≥0恒成立．用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)g（x）的最小值為g（-a），保證其大于0即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+ax²+bx+4，
∴f′（x）=3x²+2ax+b．
∵f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，在（0，1）上是減函數(shù)，
∴當(dāng)x=0時(shí)，f（x）有極大值，即f′（x）=0，
∴b=0．
（Ⅱ）f′（x）=3x²+2ax=x（3x+2a），
∵f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，在（0，1）上是減函數(shù)，
∴-

2

3

a≥1，即a≤-

3

2

．
∵曲線y=f（x）在直線y=a²x-4的上方，
設(shè)g（x）=（x³+ax²+4）-（a²x-4），
∴在x∈[0，+∝）時(shí)，g（x）≥0恒成立．
∵g′（x）=3x²+2ax-a²=（3x-a）（x+a），
令g′（x）=0，兩個(gè)根為-a，

a

3

，且

a

3

＜0＜-a，

x	（0，-a）	-a	（-a，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

∴當(dāng)x=-a時(shí)，g（x）有最小值g（-a）．
令g（-a）=（-a³+a³+4）-（-a³-4）＞0，
∴a³＞-8，由a≤-

3

2

，
∴-2＜a≤ -

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是將不等式在某個(gè)區(qū)間上恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在該區(qū)間上的最值問題，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，這也是高考考查的熱點(diǎn)之一．