Question

已知函數(shù)f（x）=loga

x-3

x+3

，g（x）=f（x）+x³+2
（1）若g（t）=3求g（-t）的值
（2）若f（x）的定義域?yàn)閇α，β），值域?yàn)椋╨og_aa（β-1），log_aa（α-1）]
①求證：a＞3
②若函數(shù)f（x）為[α，β）上的減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意先求出函數(shù)的定義域和f（-x），判斷出函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，再代入求出g（t）+g（-t）=4，由g（t）=3求g（-t）=1；
（2）①根據(jù)（1）求出的函數(shù)f（x）的定義域和真數(shù)大于零，求出α的范圍；
②先用分離常數(shù)法判斷真數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，再由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和“同增異減”得出底數(shù)a的范圍，根據(jù)值域列出關(guān)于α與β的方程，再轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)二次方程的兩個(gè)不同的根，由根的分布列出關(guān)于a的不等式組，進(jìn)行求解注意a的范圍；

解答：解：（1）由題意得

x-3

x+3

＞0，得x＞3或x＜-3；（1分）
∵f（-x）=loga

-x-3

-x+3

=loga

x+3

x-3

=-loga

x-3

x+3

=f（-x）
∴f（x）為奇函數(shù)；（3分）
∵g（x）=f（x）+x³+2，g（t）=3
∴g（t）+g（-t）=f（t）+t³+2+f（-t）+（-t）³+2=4
∴g（t）+g（-t）=4．故g（-t）=1（5分）
（2）由（1）知f（x）的定義域（-∞，-3）∪（3，+∞）
①∵a（α-1）＞0且a＞0，則α＞1，
又∵已知f（x）的定義域?yàn)閇α，β），
∴β＞α＞3．則α＞3．（8分）
②∵函數(shù)y=

x-3

x+3

=1-

6

x+3

在其定義域[α，β）上為增函數(shù)，
又∵f（x）在[α，β）上為減函數(shù)，∴0＜a＜1；（9分）
∵f（x）的定義域?yàn)閇α，β），值域?yàn)椋╨og_aa（β-1），log_aa（α-1）]
∴

log

α-3 α+3 a

=log_a^a（α-1）且

log

β-3 β+3 a

=log_aa（β-1），
說(shuō)明α，β 是方程

x-3

x+3

=a(x-1)的兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根，且β＞α＞3，
即方程ax²+（2a-1）x+3-3a=0在區(qū)間（3，+∞）內(nèi)有兩相異實(shí)根．
設(shè)h（x）=ax²++（2a-1）x+3-3a，
則有

△=(2a-1)2-4a(3-3a)＞0 - 2a-1 2a ＞3 h(3)＞0

，解

a＜ 2- 3 4 或a＞ 2+ 3 4 a＜ 1 8 a＞0

又∵0＜a＜1，
綜上解得：0＜a＜

2- 3

4

，
∴滿足條件的a的取值范圍是（0，

2- 3

4

）．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題是有關(guān)函數(shù)性質(zhì)的綜合題，利用函數(shù)的奇偶性求值；利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出參數(shù)的范圍和解決值域問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化思想和二次函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根的分布問(wèn)題，是難度較大的題．