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設f（x）=ax2+2（b+1）x，g（x）=2x-c，其中a＞b＞c，且a+b+c=0
（1）求證：
1
3
＜
a
a-c
＜
2
3
；
（2）求證：函數f（x）與g（x）的圖象有兩個不同的交點
（3）設f（x）與g（x）圖象的兩個不同交點為A、B，求證：
15
＜|AB|＜2
15
．
證明：（1）由a＞b＞c，a+b+c=0可知a＞0，c＜0，b=-a-c
由a＞b得
2a＞-c
2c＜-a
   即
3a＞a-c
2(a-c)＞3a

∴
a
a-c
＞
1
3
，且
a
a-c
＜
2
3
 …（4分）
（2）由f（x）=g（x） 得ax2+2bx+c=0 
∵△=4b2-4ac=4[（a+c）2-ac]=4[(a+
c
2
)2+
3c2
4
]＞0
故有兩個不同交點                                   …（8分）
（3）∵|AB|=
(1+k2)
|xA-xB|
=
(1+k2)[(xA+xB)2-4xAxB

=
2
5
a
b2-ac

=2
5
•
(
a-c
a
)2-
3c
a

=2
5
(
c
a
)2+
c
a
+1

=2
5
(
c
a
+
1
2
)2+
3
4

又  -2＜
c
a
＜-
1
2
從而得證
15
＜|AB|＜2
15
                  …（12分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

13、設f（x）=ax2+bx+c（a≠0），對于任意-1≤x≤1，有f（x）|≤1；求證|f（2）|≤7．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于函數f（x），其定義域為D，若任取x1、x2∈D，且x1≠x2，若f（
x1+x2
2
）＞
1
2
[f（x1）+f（x2）]，則稱f（x）為定義域上的凸函數．
（1）設f（x）=ax2（a＞0），試判斷f（x）是否為其定義域上的凸函數，并說明原因；
（2）若函數f（x）=㏒ax（a＞0，且a≠1）為其定義域上的凸函數，試求出實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設f（x）=ax2+x-a，g（x）=2ax+5-3a
（1）若f（x）在x∈[0，1]上的最大值是
54
，求a的值；
（2）若對于任意x1∈[0，1]，總存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范圍；
（3）若f（x）=g（x）在x∈[0，1]上有解，求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于給定正數k，定fk（x）=
f(x)   (f(x)≤k)
k    (f(x)＞k)
，設f（x）=ax2-2ax-a2+5a+2，對任意x∈R和任意a∈（-∞，0）恒有fk(x)=
f(x)
，則（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•閔行區(qū)二模）設f（x）=ax2+bx，且1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，則f（2）的最大值為
14
14
．

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