Question

已知函數f(x)=

1

3

x3-

a+1

2

x²+bx+a（a，b∈R），且其導函數f′（x）的圖象過原點．
（Ⅰ）當a=1時，求函數f（x）的圖象在x=3處的切線方程；
（Ⅱ）若存在x＜0，使得f′（x）=-9，求a的最大值；
（Ⅲ）當a＞0時，求函數f（x）的零點個數．

Answer 1

分析：求出f′（x），把（0，0）代入f′（x）求得b的值，把b的值代入f′（x）
（Ⅰ）把a等于1代入到導函數中求出導函數，把x=3代入導函數中得f′（3）即為函數在x=3處切線方程的斜率，把x=3代入f（x）中求出切點坐標（3，f（3）），然后根據切點和斜率寫出切線方程即可；
（Ⅱ）把求得導函數代入到f′（x）=-9中，解出-a-1，根據x小于0，利用基本不等式即可求出a的最大值；
（Ⅲ）當a大于0時，令導函數為0求出x的值，利用x的值，討論導函數的正負得到函數的單調區(qū)間，根據函數的增減性得到函數的極大值和極小值，并根據a大于0判斷極大值和極小值的正負及f（-2）和f（

3

2

（a+1））的正負，即可得到函數零點的個數．

解答：解：f(x)=

1

3

x3-

a+1

2

x2+bx+a，f'（x）=x²-（a+1）x+b
由f'（0）=0得b=0，f'（x）=x（x-a-1）．
（Ⅰ）當a=1時，f(x)=

1

3

x3-x2+1，f'（x）=x（x-2），f（3）=1，f'（3）=3
所以函數f（x）的圖象在x=3處的切線方程為y-1=3（x-3），即3x-y-8=0；
（Ⅱ）存在x＜0，使得f'（x）=x（x-a-1）=-9，-a-1=-x-

9

x

=(-x)+(-

9

x

)≥2

(-x)•(- 9 x

)=6，a≤-7，
當且僅當x=-3時，a=-7，所以a的最大值為-7；
（Ⅲ）當a＞0時，x，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

f（x）的極大值f（0）=a＞0，
f（x）的極小值f(a+1)=a-

1

6

(a+1)3=-

1

6

[a3+3(a-

1

2

)2+

1

4

]＜0
又f(-2)=-a-

14

3

＜0，f(x)=

1

3

x2[x-

3

2

(a+1)]+a，f(

3

2

(a+1))=a＞0．
所以函數f（x）在區(qū)間(-2，0)，(0，a+1)，(a+1，

3

2

(a+1))內各有一個零點，
故函數f（x）共有三個零點．

點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用基本不等式求函數的最值，會利用導函數的正負研究函數的單調性并根據函數的增減性求出函數的極值，根據極值的正負判斷函數零點的個數，是一道中檔題．