Question

已知展開式中偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和比（1+x）ⁿ展開式的各項(xiàng)系數(shù)和大112．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）在（1）的條件下，求（1-x）²ⁿ展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)；
（Ⅲ）在（1）的條件下，求展開式中的所有的有理項(xiàng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得 2^2n-1=2ⁿ=112，由此求得n的值．
（2）由n=4，（1-x）²ⁿ =（1-x）⁸，從而可得（1-x）⁸展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第五項(xiàng)，根據(jù)通項(xiàng)公式求得 T₅．
（Ⅲ）設(shè)有理項(xiàng)為第r+1項(xiàng)，根據(jù)通項(xiàng)公式 可得 ，求得r=1，4，7，從而得到展開式中的所有的有理項(xiàng)．
解答：解：（1）由題意可得 2^2n-1=2ⁿ=112，2²ⁿ-2•2ⁿ-224=0，解得 n=4．…..（4分）
（2）由n=4，（1-x）²ⁿ =（1-x）⁸，從而，（1-x）⁸展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是：T₅= （-x）⁴=70x⁴．  …（8分）
（Ⅲ）設(shè)有理項(xiàng)為第r+1項(xiàng)，則 T_r+1=••=••，∴．
令=k 則，r=4-k，∴k=-2，0，2，即 r=1，4，7．
所以第2項(xiàng)，第5項(xiàng)，第8項(xiàng)為有理數(shù)，它們分別是 T₂=- •x²=-4x²，T₅=••x=，
T₈=••x^-2．…..13 分
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．