Question

已知a=

∫

2 1

1

x2

dx，則(x+

1

x

-4a)3(x≠0)展開式中的常數(shù)項為（　�。�

A．-20

B．-40

C．20

D．40

Answer 1

分析：根據(jù)題意，由定積分的計算公式可得a=

∫

2 1

1

x2

dx=（-

1

x

）|₁²，進(jìn)而可得a的值，則可將（x+

1

x

-4a）³=（x+

1

x

-2）³=（x+

1

x

-2）×（x+

1

x

-2）×（x+

1

x

-2），分析可得其展開式中常數(shù)項的情況，①三個括號中全取-2，②一個括號取x，一個括號取

1

x

，一個括號取-2，分別計算可得其系數(shù)，進(jìn)而將其相加可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，a=

∫

2 1

1

x2

dx=（-

1

x

）|₁²=（-

1

2

）-（-1）=

1

2

，
則（x+

1

x

-4a）³=（x+

1

x

-2）³=（x+

1

x

-2）×（x+

1

x

-2）×（x+

1

x

-2），
其展開式中常數(shù)項的情況有：
①三個括號中全取-2，得（-2）³；
②一個括號取x，一個括號取

1

x

，一個括號取-2，得C₃¹C₂¹（-2）=-12，
則其展開式中常數(shù)項為（-2）³+（-12）=-20；
故選A．

點評：本題考查二項式定理的運用，涉及定積分的計算，解題的關(guān)鍵是求出a的值．