Question

如圖，在平面四邊形ABCD中，△BCD是正三角形，AB=AD=1，∠BAD=θ．
（Ⅰ）將四邊形ABCD的面積S表示成關(guān)于θ的函數(shù)；
（Ⅱ）求S的最大值及此時(shí)θ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在△ABD中，根據(jù)余弦定理可表示BD，根據(jù)S=

1

2

absinc可表示出△ABD，△BCD的面積，從而表示出四邊形ABCD的面積；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可把四邊形面積S化為S=Asin（ωx+φ）+B形式，根據(jù)三角函數(shù)的有界性可求其最值．

解答：解：（Ⅰ）BD=

12+12-2×1×1cosθ

=

2-2cosθ

，
S△ABD=

1

2

×1×1×sinθ=

1

2

sinθ，
S△BCD=

3

4

×BD2=

3

4

(2-2cosθ)=

3

2

-

3

2

cosθ，
∴SABCD=

1

2

sinθ-

3

2

cosθ+

3

2

（0＜θ＜π）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得SABCD=

1

2

sinθ-

3

2

cosθ+

3

2

=sin(θ-

π

3

)+

3

2

，
∵0＜θ＜π，∴-

π

3

＜θ-

π

3

＜

2π

3

，
當(dāng)θ-

π

3

=

π

2

時(shí)，即θ=

5π

6

時(shí)，S有最大值1+

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)最值的求法，考查三角恒等變換知識(shí)，考查學(xué)生分析解決問題的能力．