如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，并且PD=a，PA=PC=a．

    （1）求證：PD^平面ABCD；

    （2）求異面直線PB與AC所成的角；

    （3）求二面角A-PB-D的大��；

答案：
解析：

如圖：（1）證明：∵ PC=a，PD=DC=a，∴ DPDC是RtD，∴ PD^DC，同理，PD^DA．而AD∩DC=D，∴ PD^平面ABCD．

    （2）解：連結BD，因為ABCD是正方形，∴ BD^AC．

    又PD^平面ABCD，∴ BD是PB在平面ABCD上的射影．

    由三垂線定理，得PB^AC．

    PB與AC成90°角．

    （3）解：設AC∩BD=O，作AE^PB于E，連結OE．∵ AC^BD．又PD^平面ABCD，ACÌ平面ABCD．∴ PD^AC．

    而PD∩BD=D，∴ AC^平面PDB．

    ∴ OE是AE在平面PDB上的射影．

    由三垂線定理逆定理知OE^PB．

    ∴ ÐAEO是二面角A-PB-D的平面角．

    又AB=a，PA=a，PB=a．

    ∵ PD^平面ABCD，DA^AB，∴ PA^AB．

    ∴ ，∴ ．

    故ÐAEO=60°．所以所求二面角A-PB1-D為60°．


練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2
2
，∠PAB=60°．
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（2）求二面角P-BD-A的正切值大�。�

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（2）求A到面PCD的距離．

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