Question

若{a_n}是等差數(shù)列，公差為d且不為d≠0，a₁，d∈R，它的前n項(xiàng)和記為S_n，設(shè)集合P={(x，y)|

x2

4

-y2=1，x，y∈R}，Q={(x，y)|x=an，y=

Sn

n

，n∈N*}給出下列命題：（1）集合Q表示的圖形是一條直線；（2）P∩Q=∅（3）P∩Q只有一個(gè)元素（4）P∩Q可以有兩個(gè)元素（5）P∩Q至多有一個(gè)元素．其中正確的命題序號(hào)是

 

（注：把你認(rèn)為是正確命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析：先根據(jù)等差數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式分別表示出x和y，然后消去參數(shù)n和d，求得x和y的關(guān)系式，根據(jù)結(jié)合Q是由不連續(xù)的數(shù)構(gòu)成，進(jìn)而可知集合Q表示的圖形是一條直線上不連續(xù)的點(diǎn)，推斷出①不正確；把直線方程與雙曲線方程聯(lián)立消去y后得到一元一次方程可推斷出方程最多有一個(gè)解，即P∩Q至多有一個(gè)元素推斷出⑤正確，②③④均不正確．

解答：解：設(shè)y=

Sn

n

，x=a_n
由等差數(shù)列求和公式得S_n=na₁+

1

2

[n（n-1）d]
則y=a₁+

1

2

[（n-1）d]
又x=a₁+（n-1）d
易得2y=x+a₁
集合Q表示的圖形是一條直線上不連續(xù)的點(diǎn)，①不正確．
把方程2y=x+a₁與雙曲線方程聯(lián)立得2xa₁-a₁²-4=0
∴直線2y=x+a₁與雙曲線最多有一個(gè)焦點(diǎn)，即P∩Q至多有一個(gè)元素．②③④均不正確，⑤正確．
故答案為：⑤

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，集合的基本性質(zhì)．考查了學(xué)生分析，推理和歸納的能力．