Question

【題目】眾所周知的“太極圖”，其形狀如對(duì)稱(chēng)的陰陽(yáng)兩魚(yú)互抱在一起，因此被稱(chēng)為“陰陽(yáng)魚(yú)太極圖”．如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”的一個(gè)示意圖，整個(gè)圖形是一個(gè)圓面，其中黑色區(qū)域在軸右側(cè)部分的邊界為一個(gè)半圓．給出以下命題：

①在太極圖中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自黑色部分的概率是；

②當(dāng)時(shí)，直線與白色部分有公共點(diǎn)；

③黑色陰影部分中一點(diǎn)，則的最大值為2；

④設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)在此太極圖上，使得，的范圍是．

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）

A.①②B.②③C.①③D.①④

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據(jù)幾何概型概率計(jì)算，判斷①的正確性；

根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，判斷②的正確性；

根據(jù)線性規(guī)劃的知識(shí)求得的最大值，由此判斷③的正確性；

將轉(zhuǎn)化為過(guò)的兩條切線所成的角大于等于，由此求得的取值范圍，進(jìn)而求得的取值范圍，從而判斷出④的正確性.

對(duì)于①，將y軸右側(cè)黑色陰影部分補(bǔ)到左側(cè)，即可知黑色陰影區(qū)域占圓的面積的一半，

根據(jù)幾何概型的計(jì)算公式，所以在太極圖中隨機(jī)取一點(diǎn)，

此點(diǎn)取自黑色陰影部分的概率是，①正確；

對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，直線,

過(guò)點(diǎn)，所以直線與白色部分在第I和第IV象限部分沒(méi)有

公共點(diǎn).圓的圓心為，半徑為，圓心到直線

，即直線的距離為，

所以直線與白色部分在第III象限的部分沒(méi)有公共點(diǎn).

綜上所述，直線y＝ax+2a與白色部分沒(méi)有公共點(diǎn)，②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，設(shè)l：z＝x+y，由線性規(guī)劃知識(shí)可知，當(dāng)直線l與圓x2+（y﹣1）2＝1相切時(shí)，

z最大，由解得z（舍去），③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，要使得∠OPQ＝45°，即需要過(guò)點(diǎn)P的兩條切線所成角大于等于，

所以，即OP≤2，于是22+b2≤8，解得，④正確．

故選：D