Question

（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講
設(shè)關(guān)于x的不等式lg（|x＋3|＋|x－7|）＞a．
（1）當(dāng)a＝1時(shí)，解這個(gè)不等式；
（2）當(dāng)a為何值時(shí)，這個(gè)不等式的解集為R．

Answer 1

（1）{x|x＜－3或x＞7}．（2）當(dāng)且僅當(dāng)a＜1時(shí)，對(duì)任何x∈R都成立．

解析試題分析：（1）當(dāng)a＝1時(shí)，原不等式變?yōu)閨x＋3|＋|x－7|＞10，
當(dāng)x≥7時(shí)x+x-4＞10得：x＞7
當(dāng)-3＜x＜7時(shí)，x+4-x＞10不成立
當(dāng)x≤-3時(shí)-x+4-x＞10得：x＜-3
所以不等式的解集為{x|x＜－3或x＞7}．  （4分）
（2）∵|x＋3|＋|x－7|≥|x＋3－（x－7）|＝10對(duì)任意x∈R都成立，∴l(xiāng)g（|x＋3|＋|x－7|）≥lg10＝1對(duì)任何x∈R都成立，即lg（|x＋3|＋|x－7|）＞a，當(dāng)且僅當(dāng)a＜1時(shí)，對(duì)任何x∈R都成立．   （12分）
考點(diǎn)：本題考查絕對(duì)值不等式，恒成立的問題
點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是（1）解絕對(duì)值不等式利用零點(diǎn)分段的方法；（2）解決恒成立問題，可將問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)f（x）的最值