Question

從一個半徑為1的圓形鐵片中剪出圓心角為x弧度的一個扇形，并將其卷成一個圓錐（不考慮連接用料），若圓錐的容積達到最大時，則x的值是

2 6

3

π

．

Answer 1

分析：設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，體積為V，求出r²+h²=R²，表示出體積表達式，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，得到結(jié)果．

解答：解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，體積為V，那么r²+h²=R²，
因此，V=

1

3

πr²h
=

1

3

π（R²-h²）h=

1

3

πR²h-

1

3

πh³（0＜h＜R）．…（3分）
V′=

1

3

πR²-πh²．
令V'=0，即

1

3

πR²-πh²=0，得 h=

3

3

R．…（5分）
當(dāng) 0＜h＜

3

3

R時，V'＞0．
當(dāng)

3

3

R＜h＜R時，V'＜0．
所以，h=

3

3

R時，V取得極大值，并且這個極大值是最大值．…（8分）
把 h=

3

3

R代入r²+h²=R²，得 r=

6

3

R．
由Rx=2πr，得 x=

2 6

3

π．
故答案為：

2 6

3

π．

點評：本題考查圓錐與扇形展開圖的關(guān)系，體積的計算，考查計算能力，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是建立起體積的函數(shù)模型，理解函數(shù)的單調(diào)性與最值的關(guān)系是解本題的重點．