Question

已知f（x）=e^x-x-m．
（1）x＞0，f（x）＞0恒成立，求m的取值；
（2）當(dāng)m=-1時，證明

x-lnx

ex

•f（x）＞1-

1

e2

．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：計算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）x＞0，f（x）＞0恒成立，即為e^x-x-m＞0在x＞0恒成立，即有m＜e^x-x，令y=e^x-x，求出導(dǎo)數(shù)，求出y的范圍，即可得到m的范圍；
（2）要證

x-lnx

ex

•f（x）＞1-

1

e2

，即證（x-lnx）（1-

x-1

ex

）＞1-

1

e2

令g（x）=x-lnx-1，令h（x）=e^x-e²（x-1），運用導(dǎo)數(shù)求出最值，即可得到x-lnx≥1①即有1-

x-1

ex

≥1-

1

e2

＞0②兩式相乘即可得證．

解答： （1）解：x＞0，f（x）＞0恒成立，即為e^x-x-m＞0在x＞0恒成立，
即有m＜e^x-x，令y=e^x-x，則y′=e^x-1，由于x＞0，則y′＞0，則y在x＞0遞增，
即有y＞1，則有m≤1；
（2）證明：要證

x-lnx

ex

•f（x）＞1-

1

e2

，即證（x-lnx）（1-

x-1

ex

）＞1-

1

e2

令g（x）=x-lnx-1，g′（x）=1-

1

x

，當(dāng)x＞1時，g′（x）＞0，g（x）遞增，
當(dāng)0＜x＜1時，g′（x）＜0，g（x）遞減，則x=1取得最小值0，則x-lnx≥1①
令h（x）=e^x-e²（x-1），h′（x）=e^x-e²，當(dāng)x＞2時，h′（x）＞0，h（x）遞增，
當(dāng)0＜x＜2時，h′（x）＜0，h（x）遞減，則x=2時取得最小值0，
則e^x-e²（x-1）≥0，即有e^x≥e²（x-1），即為

x-1

ex

≤

1

e2

即有1-

x-1

ex

≥1-

1

e2

＞0②
則①×②，得，（x-lnx）（1-

x-1

ex

）＞1-

1

e2

，
故原不等式得證．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值，考查不等式的證明，注意構(gòu)造函數(shù)運用導(dǎo)數(shù)求最值，屬于中檔題．