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已知函數f（x）=x3+ax2-2x+5．
（1）若函數f（x）在（，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，求實數a的值；
（2）是否存在正整數a，使得f（x）在（，）上既不是單調遞增函數也不是單調遞減函數？若存在，試求出a的值，若不存在，請說明理由．
【答案】分析：（1）先求導函數，再根據f（x）=x3+ax2-2x+5在（，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，可得f′（1）=0，從而可求實數a的值；
（2）求出函數的導數，由題意得在（，1）內方程f′（x）=0不可能有兩個解，故要使得f（x）在（，）上既不是單調增函數也不是單調減函數的充要條件是f′（）•f′（）＜0，從而可得實數a的取值范圍．
解答：解：（1）f′（x）=3x2+2ax-2
∵f（x）=x3+ax2-2x+5在（，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，
∴f′（1）=0，
∴a=-． …（6分）
（2）令f′（x）=3x2+2ax-2=0．
∵△=4a2+24＞0，∴方程有兩個實根，…（8分）
分別記為x1 x2．由于x1•x2=-，說明x1，x2一正一負，
即在（，1）內方程f′（x）=0不可能有兩個解．…（10分）
故要使得f（x）在（，）上既不是單調增函數也不是單調減函數的充要條件是
f′（）•f′（）＜0，即（+a-2）（+a-2）＜0．…（13分）
解得． …（15分）
∵a是正整數，∴a=2．…（16分）
點評：本題以函數為載體，考查函數的單調性，考查函數的極值，同時考查學生分析解決問題的能力，解題的關鍵是得出在（，1）內方程f′（x）=0不可能有兩個解
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　�。�
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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