Question

設(shè)直線l與球O有且只有一個公共點(diǎn)P，從直線l出發(fā)的兩個半平面α，β截球O的兩個截面圓的半徑分別為1和

3

，二面角α-l-β的平面角為

5π

6

，則球O的表面積等于

 

．

Answer 1

分析：過P與O作直線l的垂面，畫出截面圖形，設(shè)出球的半徑，通過解三角形，利用轉(zhuǎn)化思想求出球的半徑的平方，然后求出球的表面積．

解答：解：過P與O作直線l的垂面，畫出截面圖形，如圖
設(shè)球的半徑為r，作OE⊥QP，OF⊥PM，則EP=1，PF=

3

，
設(shè)∠OPE=α，∠OPF=

5π

6

-α，
所以

rcosα

rcos( 5π 6 -α)

=

1

3

，
即sinα=3

3

cosα，sin²α+cos²α=1解得
cos²α=

1

28

所以r²=

1

cos2α

；
所以球的表面積為：4πr²=4π×28=112π．
故答案為112π．

點(diǎn)評：本題是中檔題，考查二面角的有關(guān)知識，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，空間想象能力，計算能力．