Question

6．在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．已知曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=4+cost\\ y=-3+sint\end{array}$（t為參數(shù)），C₂：$\left\{\begin{array}{l}x=6cosθ\\ y=2sinθ\end{array}$（θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）化C₁，C₂的方程為普通方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線；
（Ⅱ）若C₁上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t=-$\frac{π}{2}$，Q為C₂上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PQ的中點(diǎn)M到直線C₃：ρcosθ-$\sqrt{3}$ρsinθ=8+2$\sqrt{3}$  距離的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由cos²θ+sin²θ=1，能求出曲線C₁，C₂的普通方程，并能說(shuō)明它們分別表示什么曲線．
（Ⅱ）當(dāng)t=$\frac{π}{2}$時(shí)，P（4，-4），設(shè)Q（6cosθ，2sinθ），則M（2+3cosθ，-2+sinθ），直線C₃的直角坐標(biāo)方程為：$x-\sqrt{3}y$-（8+2$\sqrt{3}$）=0，由此能求出線段PQ的中點(diǎn)M到直線C₃：ρcosθ-$\sqrt{3}ρsinθ=8+2\sqrt{3}$距離的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=4+cost\\ y=-3+sint\end{array}$（t為參數(shù)），
∴曲線C₁的普通方程為：（x-4）²+（y+3）²=1，…（1分）
∵曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}x=6cosθ\\ y=2sinθ\end{array}$（θ為參數(shù)），
∴曲線C₂的普通方程為：$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，…（2分）
曲線C₁為圓心是（4，-3），半徑是1的圓．…（3分）
曲線C₂為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是6，短半軸長(zhǎng)是2的橢圓．…（4分）
（Ⅱ）當(dāng)t=$\frac{π}{2}$時(shí)，P（4，-4），…（5分）
設(shè)Q（6cosθ，2sinθ），則M（2+3cosθ，-2+sinθ），…（6分）
∵直線C₃：ρcosθ-$\sqrt{3}ρsinθ=8+2\sqrt{3}$，
∴直線C₃的直角坐標(biāo)方程為：$x-\sqrt{3}y$-（8+2$\sqrt{3}$）=0，…（7分）
M到C₃的距離d=$\frac{|（2+3cosθ）-\sqrt{3}（-2+sinθ）-（8+2\sqrt{3}）}{2}$ …（8分）
=$\frac{|3cosθ-\sqrt{3}sinθ-6|}{2}$
=$\frac{|2\sqrt{3}cos（θ+\frac{π}{6}）-6|}{2}$
=3-$\sqrt{3}cos（θ+\frac{π}{6}）$．…（9分）
從而當(dāng)cos（$θ+\frac{π}{6}$）=1時(shí)，d取得最小值3-$\sqrt{3}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程和普通方程的互化，考查線段的中點(diǎn)到直線的距離的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．