Question

12．邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC內(nèi)（包括三邊）有點(diǎn)P，$\overrightarrow{PB}$$•\overrightarrow{PC}$=1，則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$的范圍是（　�。�

• A． [2，4]
• B． [$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，4]
• C． [3-$\sqrt{5}$，2]
• D． [$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，3-$\sqrt{5}$]

Answer 1

分析 先建立坐標(biāo)系，根據(jù)$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=1，得到點(diǎn)P在x²+y²=2的圓周上，即P在$\widehat{MN}$上，將P的坐標(biāo)范圍表示出來，進(jìn)而可求$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$．

解答 解：以BC中點(diǎn)O為原點(diǎn)，BC所在的直線為x軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，

∵正三角形ABC邊長(zhǎng)為2，
∴B（-1，0），A（0，$\sqrt{3}$），C（1，0），
設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y），
∴$\overrightarrow{PB}$=（-1-x，-y），$\overrightarrow{PC}$=（1-x，-y），
∴$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=x²-1+y²=1，
即點(diǎn)P在x²+y²=2的圓弧即$\widehat{MN}$上，

如圖可以求出sinθ=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，cosθ=$\frac{\sqrt{10}}{4}$；
β=θ-$\frac{π}{6}$，sinβ=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}{8}$，cosβ=$\frac{\sqrt{30}+\sqrt{6}}{8}$，
設(shè)∠AOP=φ，則-β≤φ≤β，P（$\sqrt{2}$sinφ，$\sqrt{2}$cosφ），
$\overrightarrow{AP}$=（$\sqrt{2}$sinφ，$\sqrt{2}$cosφ-$\sqrt{3}$），
又$\overrightarrow{AB}$=（-1，-$\sqrt{3}$），
所以$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$=-$\sqrt{2}$sinφ-$\sqrt{6}$cosφ+3，-β≤φ≤β，
當(dāng)φ=-β時(shí)，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$最大，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$=（-$\sqrt{2}$）×（-$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}{8}$）-$\sqrt{6}$×$\frac{\sqrt{30}+\sqrt{6}}{8}$+3=3-$\sqrt{5}$；
當(dāng)φ=β時(shí)，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$最小，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$=（-$\sqrt{2}$）×$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}{8}$-$\sqrt{6}$×$\frac{\sqrt{30}+\sqrt{6}}{8}$+3=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$；
所以$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$的范圍是[$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，3-$\sqrt{5}$]．
故本題選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)量積運(yùn)算，直線和圓的位置關(guān)系，培養(yǎng)了學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．