Question

已知函數(shù)f（x）的定義域是x≠0的一切實(shí)數(shù)，對(duì)定義域內(nèi)的任意x₁，x₂都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且當(dāng)x＞1時(shí)f（x）＞0，f（2）=1．
（1）求證：f（x）是偶函數(shù)；
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）解不等式f（2x²-1）＜2．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意和式子的特點(diǎn)，先令x₁=x₂=-1求出f（-1）=0，再令x₁=-1，x₂=x求出f（-x）=f（x），則證出此函數(shù)為偶函數(shù)；
（2）先任取x₂＞x₁＞0，再代入所給的式子進(jìn)行作差變形，利用x₂=x1•

x2

x1

和

x2

x1

＞1且f(

x2

x1

)＞0，判斷符號(hào)并得出結(jié)論；
（3）根據(jù)題意和（1）的結(jié)論，把不等式轉(zhuǎn)化為f（|2x²-1|）＜f（4），再由（2）的結(jié)論知|2x²-1|＜4，故解此不等式即可．

解答：解：（1）由題意知，對(duì)定義域內(nèi)的任意x₁，x₂都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），
令x₁=x₂=-1，代入上式解得f（-1）=0，
令x₁=-1，x₂=x代入上式，∴f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)．
（2）設(shè)x₂＞x₁＞0，則f(x2)-f(x1)=f(x1•

x2

x1

)-f(x1)=f(x1)+f(

x2

x1

)-f(x1)=f(

x2

x1

)
∵x₂＞x₁＞0，∴

x2

x1

＞1，∴f(

x2

x1

)＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，∴f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（3）∵f（2）=1，∴f（4）=f（2）+f（2）=2，
∵f（x）是偶函數(shù)，∴不等式f（2x²-1）＜2可化為f（|2x²-1|）＜f（4），
又∵函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴|2x²-1|＜4，且2x²-1≠0，
即-4＜2x²-1＜4，且2x²≠1解得：-

10

2

＜x＜

10

2

，且x≠±

2

2

，
即不等式的解集為{x|-

10

2

＜x＜

10

2

，且x≠±

2

2

}．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是抽象函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，根據(jù)證明函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的方法，反復(fù)給x₁和x₂值利用給出恒等式，注意條件的利用；求解不等式時(shí)利用函數(shù)的奇偶性及條件轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值的關(guān)系，進(jìn)而由函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為自變量的大小，易錯(cuò)點(diǎn)忽略定義域．