Question

如圖,直平行六面體A₁C的上底面ABCD為菱形,∠BAD=60°,側(cè)面為正方形,E、F分別是A₁B₁、AA₁的中點(diǎn),M是AC和BD的交點(diǎn),求EF與B₁M所成角的大小(用反三角函數(shù)表示).

Answer 1

解析:作出EF與B₁M所成的角,通過解三角形求其大小.

連結(jié)AB₁,∵E、F分別為A₁B₁、A₁A的中點(diǎn),

∴EF∥AB₁.

∴∠AB₁M為EF與B₁M所成的角.

在菱形ABCD中,AC⊥BD,

由∠BAD=60°,得△ABD為等邊三角形.

設(shè)AB=2a,則BM=a,AM=a.

由四邊形ABB₁A₁是正方形,得AB₁=a,由三垂線定理,得B₁M⊥AC.

∴sin∠AB₁M=.

∴EF與B₁M所成的角為arcsin.

小結(jié)：本題除了證明△AB₁M為直角三角形、求∠AB₁M外,還可利用Rt△B₁BM求出B₁M,再用余弦定理求出∠AB₁M.