Question

雙曲線中心在原點，一條漸近線方程為，準線方程為．
（1）求雙曲線方程；
（2）若雙曲線上存在關于y=kx+1對稱的二點，求k范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)漸近線方程為，可假設方程為，再利用準線方程，可求雙曲線方程；
（2）設雙曲線上關于y=kx+1對稱二點為M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），其中點為Q（x，y），將MN的方程為代入，再利用Q（x，y）在直線y=kx+1，及判別式可求k范圍．
解答：解：（1）設雙曲線方程為
由準線方程知
∴雙曲線方程為
（2）設雙曲線上關于y=kx+1對稱二點為M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），其中點為Q（x，y）
設MN的方程為代入
得
由且
又Q（x，y）在直線y=kx+1
∴
∴
代入①式得22k⁴-13k²+1＞0
∴或 且
∴∪∪∪
點評：本題以雙曲線為載體，考查雙曲線的標準方程，考查直線與雙曲線的位置關系，考查對稱性，有一定的綜合性．