Question

2．如圖，已知橢圓Ⅰ與橢圓Ⅱ有公共左頂點A與公共左焦點F，且橢圓Ⅰ的長軸長是橢圓Ⅱ的長釉長的k（k＞1，且k為常數(shù)）倍，則橢圓Ⅰ的離心率的取值范圍是$（1-\frac{1}{k}，1）$．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓II的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），離心率為e=$\frac{c}{a}$．橢圓I的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{（x-{x}_{0}）^{2}}{{a}_{1}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{_{1}^{2}}$=1，設(shè)離心率為e₁．由于ka-x₀=a，可得x₀=（k-1）a．于是e₁=$\frac{（k-1）a+c}{ka}$=1+$\frac{1}{k}$（e-1），根據(jù)0＜e＜1即可得出．

解答 解：設(shè)橢圓II的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），離心率為e=$\frac{c}{a}$．
橢圓I的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{（x-{x}_{0}）^{2}}{{a}_{1}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{_{1}^{2}}$=1，設(shè)離心率為e₁．
則ka-x₀=a，∴x₀=（k-1）a．
∴e₁=$\frac{（k-1）a+c}{ka}$=1+$\frac{1}{k}$（e-1），
∵0＜e＜1，
∴e₁∈$（1-\frac{1}{k}，1）$．
故答案為：$（1-\frac{1}{k}，1）$．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．