Question

在氣象臺(tái)A正西方向300千米處有一臺(tái)風(fēng)中心，它以每小時(shí)40千米的速度向東北方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心250千米以內(nèi)的地方都要受其影響．問：從現(xiàn)在起，大約多長(zhǎng)時(shí)間后，氣象臺(tái)A所在地將遭受臺(tái)風(fēng)影響？持續(xù)多長(zhǎng)時(shí)間？
（注：

7

=2.65，

2

=1.41）

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,解三角形

分析：建立直角坐標(biāo)系，可得t小時(shí)后，B的坐標(biāo)為（-300+40tcos45°，40tsin45°），利用B在圓上或圓內(nèi)時(shí)，氣象臺(tái)將受臺(tái)風(fēng)影響，即可得出結(jié)論．

解答： 解：以氣象臺(tái)為坐標(biāo)原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸正方向，建立直角坐標(biāo)系，則現(xiàn)在臺(tái)風(fēng)中心B₁的坐標(biāo)為（-300，0）．
根據(jù)題意，可知，t小時(shí)后，B的坐標(biāo)為（-300+40tcos45°，40tsin45°），
即（-300+20

2

t，20

2

t），
因?yàn)橐耘_(tái)風(fēng)中心為圓心，以250千米為半徑的圓上或圓內(nèi)的點(diǎn)將遭受臺(tái)風(fēng)影響，
所以B在圓上或圓內(nèi)時(shí)，氣象臺(tái)將受臺(tái)風(fēng)影響．
所以令|AB|≤250，即(-300+20

2

t)2+(20

2

t)2≤2502
整理得16t2-120

2

t+275≤0解得

15 2 -5 7

4

≤t≤

15 2 +5 7

4

，
所以1.99≤t≤8.61
故大約2小時(shí)后，氣象臺(tái)A所在地將遭受臺(tái)風(fēng)影響，大約持續(xù)6個(gè)半小時(shí)．

點(diǎn)評(píng)：本題給出實(shí)際應(yīng)用問題，求臺(tái)風(fēng)影響氣象臺(tái)的時(shí)長(zhǎng)．著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等知識(shí)，考查了直線與圓的知識(shí)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，屬于中檔題．