Question

已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=

3

2

且經(jīng)過點(diǎn)M（2，1）．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ） 設(shè)平行于OM的直線l交橢圓E于兩個(gè)不同點(diǎn)A、B，直線MA與MB的斜率分別為k₁、k₂；
①若直線l過橢圓的左頂點(diǎn)，求k₁、k₂的值；
②試猜測(cè)k₁、k₂的關(guān)系；并給出你的證明．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，依題意有：

e2= a2-b2 a2 =( 3 2 )2 22 a2 + 1 b2 =1

，由此能求出橢圓E的方程．
（Ⅱ） ①直線l平行于OM，直線的方程是l：y=

1

2

x+

2

，聯(lián)立

y= 1 2 x+ 2 x2 8 + y2 2 =1

，能求出k₁、k₂的值．
②直線l為y=

1

2

x+b．由

y= 1 2 x+b x2 8 + y2 2 =1

，得x²+2bx+2b²-4=0．由此能證明直線MA與直線MB的傾斜角互補(bǔ)．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
依題意有：

e2= a2-b2 a2 =( 3 2 )2 22 a2 + 1 b2 =1

，
解得a²=8，b²=2，
∴橢圓E的方程為

x2

8

+

y2

2

=1．
（Ⅱ） ①若直線l過橢圓的左頂點(diǎn)，且直線l平行于OM，
則直線的方程是l：y=

1

2

x+

2

，
聯(lián)立方程組

y= 1 2 x+ 2 x2 8 + y2 2 =1

，
解得

x1=0 y1= 2

或

x2=-2 2 y2=0

，
故k1=-

2 -1

2

，k2=

2 -1

2

．
②因?yàn)橹本�l平行于OM，設(shè)在y軸上的截距為b，
又kOM=

1

2

，∴直線l的方程為y=

1

2

x+b．
由

y= 1 2 x+b x2 8 + y2 2 =1

，得x²+2bx+2b²-4=0．
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x1+x2=-2b，x1x2=2b2-4．
又k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

，
故k1+k2=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

．
又y1=

1

2

x1+b，y2=

1

2

x2+b，
∴k₁+k₂=（

1

2

x1+b-1）（x₂-2）+（

1

2

x2+b-1）（x₁-2）
=x₁x₂+（b-2）（x₁+x₂）-4（b-1）
=2b²-4+（b-2）（-2b）-4（b-1）=0．
故k₁+k₂=0，∴直線MA與直線MB的傾斜角互補(bǔ)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線斜率的求法，考查直線斜率的關(guān)系及證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．