Question

函數(shù)y=f（x）=a^x+b滿足f（0）=1且f′(0)=

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（1）求f（x）的解析式．
（2）試判斷函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x有無交點，并證明你的判斷．

Answer 1

分析：（1）先求出其導函數(shù)，再結合f（0）=1以及f′(0)=

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得到關于a和b的方程，求出a和b的值即可求f（x）的解析式；
（2）先根據(jù)條件把判斷函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x有無交點問題轉化為f（x）=x有無根的問題；再構造出函數(shù)出g（x）=e

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x-x，根據(jù)其導函數(shù)研究出其最值及其單調性即可的出結論．

解答：解：（1）f'（x）=a^xlna，依題意得f′(0)=a0lna=

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且f（0）=a⁰+b=1，
解得a=e

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，b=0，
∴f(x)=e

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x…（4分）
（2）函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x有兩交點．…（6分）
證明：聯(lián)立y=e

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x與y=x消y得e

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x=x，
令g（x）=e

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x-x，g′(x)=

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e

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x-1
令g'（x）=0，解得x=3ln3    
g'（x）＞0，解得x＞3ln3　　　　　
g'（x）＜0，得x＜3ln3
所以g（x）min=g（3ln3）=3-3ln3＜0…（9分）
顯然g（6）═e²-6＞0，又g（x） 在（3ln3，+∞）上是增函數(shù)，
∴g（x）=e

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x-x=0在（3ln3，+∞）上有一個根．…（11分）
而g（-3）═e^-1+3＞0，又g（x） 在（-∞，3ln3）上是減函數(shù)，
∴g（x）=e

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x-x=0在（-∞，3ln3）上有一個根．…（13分）
綜上所述函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x有兩交點．…（14分）

點評：本題主要考查導函數(shù)的應用以及指數(shù)函數(shù)的綜合問題．解決第二問的關鍵在于把判斷函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x有無交點問題轉化為方程f（x）=x有無根的問題．