如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=
1
2
AA1，D是AA1的中點，則BC1與平面BCD所成的角正弦值為（　�。�
分析：分別以
AB
、
AC
、
AA1
的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，不妨設AB=AC=1，AA1=2，易求平面BCD的一個法向量
n
，設BC1與平面BCD所成的角為θ，則sinθ=|cos＜
BC1
，
n
＞|，根據(jù)向量運算求出即可．
解答：解：分別以
AB
、
AC
、
AA1
的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，
不妨設AB=AC=1，AA1=2，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，01），D（0，0，1），C1（0，1，2），
所以
BD
=（-1，0，1），
BC
=（-1，1，0），
BC1
=（-1，1，2），
設
n
=（x，y，z）為平面BCD的一個法向量，則
BD
•
n
=0
BC
•
n
=0
，即
-x+z=0
-x+y=0
，取
n
=（1，1，1），
設BC1與平面BCD所成的角為θ，則sinθ=|cos＜
BC1
，
n
＞|=
|
BC1
•
n
|
|
BC1
||
n
|
=
|-1+1+2|
6
×
3
=
2
3
，
故選D．
點評：本題考查二面角的平面角的求法，考查空間向量的運算，解決本題的關(guān)鍵是正確理解線面角與方向向量與法向量夾角的關(guān)系．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；　

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年四川省招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學 題型：解答題

 

 (本小題共l2分)

    如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一[來源:]

P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；   

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年高考試題數(shù)學理（四川卷）解析版 題型：解答題

 (本小題共l2分)

    如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一

P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；   

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離．

 

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：四川省高考真題 題型：解答題

如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中，∠ BAC=90°，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上一點，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1∥平面BDA。
（I）求證：CD=C1D；
（II）求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；
（Ⅲ）求點C到平面B1DP的距離

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

    如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一點，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離．

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