Question

己知下列三個(gè)方程 x²+4ax-4a+3=0，x²+（a-1）x+a²=0，x²+2ax-2a=0至少有一個(gè)方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：至少有一個(gè)方程有實(shí)根的對(duì)立面是三個(gè)方程都沒有根，由于正面解決此問題分類較多，而其對(duì)立面情況單一，故求解此類問題一般先假設(shè)沒有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，然后由根的判別式解得三方程都沒有根的實(shí)數(shù)a的取值范圍，其補(bǔ)集即為個(gè)方程 x²+4ax-4a+3=0，x²+（a-1）x+a²=0，x²+2ax-2a=0至少有一個(gè)方程有實(shí)根成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍．此種方法稱為反證法
解答：解：假設(shè)沒有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，則：
16a²-4（3-4a）＜0（1）
（a-1）²-4a²＜0（2）
4a²+8a＜0（3）（5分）
解之得：＜a＜-1（10分）
故三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根的a的取值范圍是：{a|a≥-1或a≤}．
點(diǎn)評(píng)：本題考查反證法，解題時(shí)要合理地運(yùn)用反證法的思想靈活轉(zhuǎn)化問題，以達(dá)到簡(jiǎn)化解題的目的，在求解如本題這類存在性問題時(shí)，若發(fā)現(xiàn)正面的求解分類較繁，而其對(duì)立面情況較少，不妨如本題采取求其反而成立時(shí)的參數(shù)的取值范圍，然后求此范圍的補(bǔ)集，即得所求范圍，本題中三個(gè)方程都是一元二次方程，故求解時(shí)注意根的判別式的運(yùn)用．