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若矩陣M有特征向量
e1
=
1
0
，
e2
=
0
1
，且它們所對應的一個特征值分別為2，-1．
（1）求矩陣M及其逆矩陣N
（2）求N100
2
3
．
分析：（1）設矩陣M=
ab
cd
，則
1
0
是矩陣A的屬于λ1=2的特征向量，則有
2-a-b
-c2-d
1
0
=
0
0
①，
0
1
是矩陣A的屬于λ2=-1的特征向量，則有
-1 -a-b
-c  -1-d
0
1
=
0
0
②，由此能夠求出矩陣M及其逆矩陣N．
（2）根據矩陣A的特征多項式求出矩陣A的特征值，由于
2
3
=2
e1
+3
e2
，∴N100
2
3
=N100（2
e1
+3
e2
）=2（N100
e1
）+3N100
e2
，求出值即可．
解答：解：設矩陣M=
ab
cd
，這里a，b，c，d∈R，
因為
1
0
是矩陣A的屬于λ1=2的特征向量，則有
2-a-b
-c2-d
1
0
=
0
0
①，
又因為
0
1
是矩陣A的屬于λ2=-1的特征向量，則有
-1-a-b
-c-1-d
0
1
=
0
0
②，
根據①②，則有
2-a=0
-c=0
-b=0
-1-d=0
從而a=2，b=0，c=0，d=-1，因此 A=
20
0-1
，（6分）
設A-1=
ef
gh
，則有
ef
gh
20
0-1
=
2e-f
2g-h
=
10
01
，
則得
2e=1
-f=0
2g=0
-h=1
從而 e=
1
2
，f=0，g=0，h=-1，因此A-1=
1
2
0
0-1
．（10分）
（2）根據題意
e1
=
1
0
，
e2
=
0
1
分別是矩陣A-1屬于特征值
1
2
，-1的特征向量，
由于
2
3
=2
e1
+3
e2

∴N100
2
3
=N100（2
e1
+3
e2
）=2（N100
e1
）+3N100
e2
=2(
λ
100
1
e1)+
3λ
100
2
e2=2×(
1
2
)100
1
0
+3×(-1)100
0
1
=
2-99
3
．
點評：本題考查矩陣的性質和應用，考查學生會利用二階矩陣的乘法法則進行運算，會求矩陣的特征值和特征向量．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：2010-2011學年江蘇省南京市高三第二次模擬考試數學卷 題型：解答題

在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10，共計20分。請在答題卡指定區(qū)域作答。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

A、選修4-1：幾何證明選講

   如圖，已知梯形ABCD為圓內接四邊形，AD//BC，過C作該圓的切線，交AD的延長線于E，求證：ΔABC∽ΔEDC。

B、選修4-2：矩形與變換

已知 為矩陣屬于λ的一個特征向量，求實數a，λ的值及A2。

C、選修4-4：坐標系與參數方程

   在平面直角坐標系xoy中，曲線C的參數方程為（α為參數），曲線D的參數方程為，（t為參數）。若曲線C、D有公共點，求實數m的取值范圍。

D、選修4-5：不等式選講

   已知a，b都是正實數，且ab=2。求證：（1+2a）（1+b）≥9。

 

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科目：高中數學 來源：2011屆江蘇省南京市高三第二次模擬考試數學卷 題型：解答題

在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10，共計20分。請在答題卡指定區(qū)域作答。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
A、選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知梯形ABCD為圓內接四邊形，AD//BC，過C作該圓的切線，交AD的延長線于E，求證：ΔABC∽ΔEDC。

B、選修4-2：矩形與變換
已知為矩陣屬于λ的一個特征向量，求實數a，λ的值及A2。
C、選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系xoy中，曲線C的參數方程為（α為參數），曲線D的參數方程為，（t為參數）。若曲線C、D有公共點，求實數m的取值范圍。
D、選修4-5：不等式選講
已知a，b都是正實數，且ab=2。求證：（1+2a）（1+b）≥9。

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