Question

13．如圖，在△AOB中，∠AOB=$\frac{π}{2}$，∠BAO=$\frac{π}{6}$，AB=4，D為線段BA的中點．△AOC由△AOB繞直線AO旋轉(zhuǎn)而成，記∠BOC=θ，θ∈（0，$\frac{π}{2}$]．
（1）證明：當(dāng)θ=$\frac{π}{2}$時，平面COD⊥平面AOB；
（2）當(dāng)三棱錐D-BOC的體積為1時，求三棱錐A-BOC的全面積．

Answer 1

分析 （1）運用直線平面的垂直，平面的垂直問題之間的轉(zhuǎn)化證明．
（2）運用直角三角形Rt△AOB中，得出DE⊥平面BOC，利用體積公式得出：△BOC是等邊三角形，分別求出等腰三角形ABC的面積為$\sqrt{15}$
△AOB與△AOC的面積都是$2\sqrt{3}$，△BOC的面積為$\sqrt{3}$，即可得出三棱錐A-BOC的全面積．

解答 （1）證：當(dāng)$θ=\frac{π}{2}$時，$∠BOC=\frac{π}{2}$，
即OC⊥OB，
又OC⊥OA，OA∩OB=O
∴OC⊥平面AOB，
∵OC?平面COD
∴平面COD⊥平面AOB．
（2）解：在Rt△AOB中，$AB=4，∠BAO=\frac{π}{6}，∠AOB=\frac{π}{2}$
∴$OB=2，OA=2\sqrt{3}$，
取OB的中點E，連接DE，則DE∥AO，
∴$DE=\sqrt{3}$，
又AO⊥平面BOC，
∴DE⊥平面BOC，
∴${V_{D-BOC}}=\frac{1}{3}{S_{△BOC}}•DE=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2sinθ×\sqrt{3}=1$
∴$sinθ=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$θ=\frac{π}{3}$，
∴△BOC是等邊三角形，
∴BC=2
∴等腰三角形ABC的面積為$\sqrt{15}$
△AOB與△AOC的面積都是$2\sqrt{3}$
△BOC的面積為$\sqrt{3}$
∴多面體A-BOC的全面積是$5\sqrt{3}+\sqrt{15}$．

點評 本題考查了空間幾何體的性質(zhì)，面積，公式求解，面面垂直的問題，綜合性較強，屬于中檔題．