Question

（2012•增城市模擬）設(shè)f(x)=lnx+

a

x

(a≥0，且為常數(shù))
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）判斷f（x）在定義域內(nèi)是否有零點(diǎn)？若有，有幾個(gè)？

Answer 1

分析：（1）先確定函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2））對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論：①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=lnx有1個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）_min=1+lna，再分情況：當(dāng)1+lna＞0，即a＞

1

e

時(shí)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)1+lna=0，即a=

1

e

時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)1+lna＜0，即0＜a＜

1

e

時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)即可．

解答：解：（1）∵f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）（1分）f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

=0（2分）∴x=a（3分）
當(dāng)a=0時(shí)，f'（x）＞0，∴f（x）的單調(diào)區(qū)間為（0，+∞）且f（x）在（0，+∞）上單調(diào)增       （4分）
當(dāng)a＞0時(shí)，x∈（o，a）時(shí)，f'（x）＜0x∈（a，+∞）時(shí)，f'（x）＞0（5分）
所以f（x）的單調(diào)區(qū)間是（0，a），（a，+∞）且f（x）在（0，a）上單調(diào)減，在（a，+∞）上單調(diào)增（6分）
（2）①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=lnx有1個(gè)零點(diǎn)x=1（7分）
②當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）_min=1+lna（8分）
當(dāng)1+lna＞0，即a＞

1

e

時(shí)無(wú)零點(diǎn)                                 （9分）
當(dāng)1+lna=0，即a=

1

e

時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)x=

1

e

（10分）
當(dāng)1+lna＜0，即0＜a＜

1

e

時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)                          （11分）
∵f（a）＜0，f（x）在（0，a）上單調(diào)減，且取x=

1

ean

(n∈N+)，當(dāng)n＞-

lna

a

時(shí)，

1

ean

＜a，有f(

1

ean

)=-na+aean＞a•(2an-n)=a[(2a)n-n]，當(dāng)n足夠大時(shí)f(

1

ean

)＞0
∴f（x）在（0，a）上有1個(gè)零點(diǎn)                                      （12分）
f（x）在（a，+∞）上單調(diào)增，且f（1）=a＞0
∴f（x）在（a，+∞）上有1個(gè)零點(diǎn)   （13分）
所以當(dāng)a=0或a=

1

e

時(shí)，f（x）有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0＜a＜

1

e

時(shí)，f（x）有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a＞

1

e

時(shí)，f（x）無(wú)零點(diǎn)．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)的綜合題，綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的零點(diǎn)，及分類(lèi)討論思想，有一定的難度，是一道很好的函數(shù)題．