Question

（2013•奉賢區(qū)二模）直線x=2與雙曲線C：

x2

4

-y2=1的漸近線交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)P為雙曲線C上的任意一點(diǎn)，若

OP

=a

OA

+b

OB

（a，b∈R，O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則下列不等式恒成立的是（　　）

• A．a(chǎn)²+b²≥2
• B．a2+b2≥

  1

  2

• C．a(chǎn)²+b²≤2
• D．a2+b2≤

  1

  2

Answer 1

分析：確定A，B的坐標(biāo)，根據(jù)

OP

=a

OA

+b

OB

，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，可得ab=

1

4

，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答：解：由題意，A（2，1），B（2，-1），
設(shè)P（x，y），則∵

OP

=a

OA

+b

OB

∴x=2a+2b，y=a-b
∵P為雙曲線C上的任意一點(diǎn)，
∴

(2a+2b)2

4

-(a-b)2=1
∴4ab=1
∴ab=

1

4

∴a2+b2≥2ab=

1

2

故選B．

點(diǎn)評：本題考查向量知識的運(yùn)用，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．