Question

已知-

π

2

＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜

π

2

，且tanα，tanβ是方程x2+6x+7=0的兩個根，求α+β的值．

Answer 1

分析：由已知的一元二次方程，利用韋達定理求出兩根之和與兩根之積，即可得到tanα+tanβ及tanα•tanβ的值，然后利用兩角和的正切函數公式表示出tan（α+β），把tanα+tanβ及tanα•tanβ的值代入即可求出tan（α+β）的值，由α和β的范圍，求出α+β的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出α+β的度數．

解答：解：∵tanα+tanβ=-6，tanα•tanβ=7（4分）
∵tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanα•tanβ

=

-6

1-7

=1（8分）
∴tanα＜0，tanβ＜0
∴-

π

2

＜α＜0，-

π

2

＜β＜0（12分）
∴-π＜α+β＜0，
∴α+β=-

3π

4

（14分）

點評：此題考查了兩角和與差的正切函數公式，以及一元二次方程的根的分布與系數的關系．熟練掌握公式及關系是解本題的關鍵，同時在解題時注意角度的范圍．