Question

已知函數(shù)，設(shè)F（x）=f（x）+g（x）
（1）求F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若以y=F（x）（x∈（0，3]）圖象上任意一點(diǎn)P（x，y）為切點(diǎn)的切線的斜率恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值；
（3）若對(duì)所有的x∈[e，+∞）都有xf（x）≥ax-a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出F（x），然后求出F'（x），分別求出F′（x）＞0與F′（x）＜0 求出F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線的斜率k，根據(jù)恒成立將a分離出來(lái)，，即可求出a的范圍，從而得到a的最小值；
（3）根據(jù)x≥e，所以，令，根據(jù)h'（x）的符號(hào)判定h（x）的單調(diào)性，求出最小值，即可求出a的范圍．
解答：解：（1），．（2分）
因?yàn)閍＞0由F′（x）＞0⇒x∈（a，+∞），所以F（x）在上單調(diào)遞增；由F′（x）＜0⇒x∈（0，a），
所以F（x）在（0，a）上單調(diào)遞減．（5分）
（2）恒成立，（7分）
即，當(dāng)x=1時(shí)取得最大值．所以，，所以．（10分）
（3）因?yàn)閤≥e，所以，令，則．（12分）
因?yàn)楫?dāng)x≥e時(shí)，，所以x-lnx-1≥e-lne-1=e-2＞0，
所以h′（x）＞0，所以，所以0＜．（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性，以及在某點(diǎn)處的切線問(wèn)題和函數(shù)恒成立問(wèn)題等有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于綜合題．