Question

橢圓T的中心為坐標原點O，右焦點為F（2，0），且橢圓T過點E（2，）．△ABC的三個頂點都在橢圓T上，設三條邊的中點分別為M，N，P．
（1）求橢圓T的方程；
（2）設△ABC的三條邊所在直線的斜率分別為k₁，k₂，k₃，且k_i≠0，i=1，2，3．若直線OM，ON，OP的斜率之和為0，求證：為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出橢圓的標準方程，利用橢圓的定義，即可確定橢圓的標準方程；
（2）利用點差法，確定三條邊所在直線的斜率，結合直線OM，ON，OP的斜率之和為0，即可得到結論．
解答：解：（1）設橢圓T的方程為（a＞b＞0），
由題意知：左焦點為F′（-2，0），所以2a=|EF|+|EF′|=+3，
解得a=2，
∵c=2，∴=2．
故橢圓T的方程為…（4分）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），M（s₁，t₁），N（s₂，t₂），P（s₃，t₃），
由：，，兩式相減，得到
（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0
所以=，即，…（9分）
同理，
所以，
又因為直線OM，ON，OP的斜率之和為0，
所以=0 …（13分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查點差法的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．