Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC=BC=2，AB=2

2

，CC₁=4，M是棱CC₁上一點．
（Ⅰ）求證：BC⊥AM；
（Ⅱ）若M，N分別為CC₁，AB的中點，求證：CN∥平面AB₁M．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質(zhì),直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（I）由三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，可得CC₁⊥BC．由已知　AC=BC=2，AB=2

2

，利用勾股定理的逆定理知BC⊥AC．利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可證明結(jié)論；
（II）   過N作NP∥BB₁交AB₁于P，連接MP，則NP∥CC₁，利用三角形的中位線定理和平行四邊形的判定定理與性質(zhì)定理即可得到CN∥MP，再利用線面平行的判定定理即可證明．

解答： 證明：（Ⅰ）因為　三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，
所以　CC₁⊥BC．               
因為　AC=BC=2，AB=2

2

，
所以　由勾股定理的逆定理知BC⊥AC．     
又因為AC∩CC₁=C，
所以　BC⊥平面ACC₁A₁．                      
因為　AM?平面ACC₁A₁，
所以　BC⊥AM．                             
（Ⅱ）過N作NP∥BB₁交AB₁于P，連接MP，則NP∥CC₁． 
因為　M，N分別為CC₁，AB中點，
所以　CM=

1

2

CC1，NP=

1

2

BB1．  
因為　BB₁=CC₁，
所以　NP=CM．       
所以　四邊形MCNP是平行四邊形．
所以　CN∥MP．                              
因為　CN?平面AB₁M，MP?平面AB₁M，
所以　CN∥平面AB₁ M．

點評：本題綜合考查了直三棱柱的性質(zhì)、線面平行于垂直的判定和性質(zhì)定理、三角形的中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)定理等基礎(chǔ)知識與方法，需要較強的推理能力和空間想象能力．