Question

（2007•廣州模擬）（此題是選做題，只能選擇其中一題．）
（1）已知圓的直徑AB=10cm，C是圓周上一點(diǎn)（不同于A、B點(diǎn)），CD⊥AB于D，CD=3cm，則BD=

1cm或9cm

．
（2）已知θ為參數(shù)，則點(diǎn)（3，2）到方程

x=cosθ y=sinθ

的距離的最大值是

13

+1

．
（3）已知x、y∈R⁺，且4x+3y=1，則

1

x

+

1

y

的最小值為

7+4

3

．

Answer 1

分析：（1）由圓的直徑AB=10cm，C是圓周上一點(diǎn)（不同于A、B點(diǎn)），CD⊥AB于D，CD=3cm，知BD（10-BD）=9，由此能求出BD；
（2）由方程

x=cosθ y=sinθ

的普通方程是圓x²+y²=1，圓心O（0，0），半徑r=1，能求出點(diǎn)（3，2）到方程

x=cosθ y=sinθ

的距離的最大值．
（3）由x、y∈R⁺，且4x+3y=1，知

1

x

+

1

y

=（4x+3y）（

1

x

+

1

y

）=4+

3y

x

+

4x

y

+3，再上均值定理能夠求出

1

x

+

1

y

的最小值．

解答：解：（1）∵圓的直徑AB=10cm，C是圓周上一點(diǎn)（不同于A、B點(diǎn)），CD⊥AB于D，CD=3cm，
∴BD•AD=3²，
即BD（10-BD）=9，
解得BD=1（cm）或BD=9（cm）．
故答案為：1cm或9cm．
（2）∵方程

x=cosθ y=sinθ

的普通方程是圓x²+y²=1，
圓心O（0，0），半徑r=1，
∴點(diǎn)（3，2）到方程

x=cosθ y=sinθ

的距離的最大值d max= 

9+4

+1=

13

+1．
故答案為：

13

+1．
（3）∵x、y∈R⁺，且4x+3y=1，
∴

1

x

+

1

y

=（4x+3y）（

1

x

+

1

y

）
=4+

3y

x

+

4x

y

+3
≥7+2

3y x • 4x y

=7+4

3

．
當(dāng)且僅當(dāng)x、y∈R⁺，

3y

x

=

4x

y

，且4x+3y=1，即x=

2- 3

2

，y=

2 3 -3

3

時(shí)，

1

x

+

1

y

取最小值7+4

3

．
故答案為：7+4

3

．

點(diǎn)評(píng)：第（1）題考查圓的相交弦定理，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．
第（2）題考查圓的參數(shù)方程和兩點(diǎn)間距離公式，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．
第（3）題考查均值定理，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意均值定理成立的基本條件的靈活運(yùn)用．