Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+a+1，x＜2}\\{x+{a}^{2}，x≥2}\end{array}\right.$的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0，1]．

Answer 1

分析 根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，分別求出每一段上函數(shù)的取值范圍進(jìn)行求解即可．

解答 解：當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）=x+a²≥2+a²，
當(dāng)x＜2時(shí)，f（x）=-x²+2x+a+1=-（x-1）²+a+2≤a+2，
∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+a+1，x＜2}\\{x+{a}^{2}，x≥2}\end{array}\right.$的值域?yàn)镽，
∴2+a²≤a+2，
即a²-a≤0，
解得0≤a≤1，
故答案為：[0，1]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)值域的關(guān)系建立不等式關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．