Question

【題目】一士兵要在一個(gè)半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)檢查是否埋有地雷，他所用的檢查儀器的有效作用范圍的半徑為．求該士兵從該圓邊界上一點(diǎn)出發(fā)，至少需走多少米才能將區(qū)域檢測(cè)完，且回到出發(fā)點(diǎn)?

Answer 1

【答案】

【解析】

首先，求士兵從出發(fā)，將圓的邊界上的所有點(diǎn)檢測(cè)完回到的最短路徑．

下面用反證法證明：

（1）上任意兩點(diǎn)連線段在所圍區(qū)域內(nèi)（含邊界），即是凸的；

（2）與圓內(nèi)部無交點(diǎn)．

（1）否則，設(shè)、，且線段在所圍區(qū)域外（如圖）．

用線段代替中、間的曲線，得到另一條封閉曲線．

則曲線在所圍區(qū)域內(nèi)（含邊界）．

對(duì)圓邊界上任一點(diǎn)，設(shè)士兵在上的點(diǎn)處檢測(cè)，則．

取線段與的交點(diǎn)為，則．

故士兵沿也可以將圓的邊界上所有點(diǎn)檢測(cè)．

但的長(zhǎng)度小于的長(zhǎng)度，矛盾．

（2）否則，設(shè)、，中、之間的曲線在圓內(nèi)部（如圖）．

過圓心作交圓于點(diǎn)，其中，與曲線在直線同側(cè)．

設(shè)線段與圓交于點(diǎn)．

由的凸性知，曲線與的其余部分在直線兩側(cè)．

則，

即士兵沿無法檢測(cè)點(diǎn)，矛盾．

由（1），（2）知是含點(diǎn)且將圓包含在內(nèi)部的封閉曲線．

則的長(zhǎng)度的最小值為（將想成套在圓上的繩子，當(dāng)從點(diǎn)拉緊繩子時(shí)，得到繩子的最短長(zhǎng)度為）．

易證當(dāng)時(shí)，士兵可沿將圓內(nèi)所有點(diǎn)檢測(cè)．