Question

已知函數(shù)，其中．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

解：函數(shù)定義域?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/03/25/15/2014032515493966168858.files/image234.gif'>， 且

①當(dāng)，即時(shí)，令，得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，

令，得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

②當(dāng)，即時(shí)，令，得或，

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.

令，得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.

③當(dāng)，即時(shí)，恒成立，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為. …7分

(Ⅱ)①當(dāng)時(shí)，由(Ⅰ)可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，在單調(diào)遞增.

所以在上的最小值為，

由于，

要使在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

需滿足或解得或.

②當(dāng)時(shí)，由(Ⅰ)可知，

（�。┊�(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

且，所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

又因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/03/25/15/2014032515493966168858.files/image264.gif'>，所以當(dāng)時(shí)，總有.

  因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/03/25/15/2014032515493966168858.files/image267.gif'>，

所以.

所以在區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn).又因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/03/25/15/2014032515493966168858.files/image066.gif'>在內(nèi)單調(diào)遞增，

從而當(dāng)時(shí)，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn). 

綜上所述，或或時(shí)，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).