Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n=a_n-1•3^n-1（n≥2，n∈N^*），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和Sn=log3(

an

9n

)(n∈N*)．
（I）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）求數(shù)列{|b_n|}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（I）對(duì)a_n=a_n-1•3^n-1（n≥2，∈N^*_）兩邊取以3為底的對(duì)數(shù)得log₃a_n=log₃a_n-1+（n-1），用累加法求出log3an=

n(n-1)

2

，從而Sn=

n2-5n

2

(n∈N*)，再根據(jù)數(shù)列中項(xiàng)與和的關(guān)系求出b_n=n-3．
（Ⅱ）利用等差數(shù)列的判定、求和公式進(jìn)行計(jì)算，注意分類討論．

解答：解：（I）∵log₃a_n=log₃a_n-1•3^n-1，兩邊取以3為底的對(duì)數(shù)得log₃a_n=log₃a_n-1+（n-1）移向得log₃a_n-log₃a_n-1=n-1，
log₃a₂-log₃a₁=1，
log₃a₃-log₃a₂=2，
…
log₃a_n-log₃a_n-1=n-1，
以上各式相加得（n≥2）
log3an-log3a1=1+2+…+(n-1)=

n(n-1)

2

，log3an=

n(n-1)

2

，且對(duì)n=1時(shí)也成立．
∴Sn=log3(

an

9n

)=

n2-5n

2

(n∈N*)
∴b₁=S₁=-2，
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=n-3，且對(duì)n=1時(shí)也成立
∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=n-3（n∈N^*）．
（II）設(shè)數(shù)列{|b_n|}的前n項(xiàng)和為T_n，當(dāng)bn=n-30≤0即n≤3時(shí)，Tn=-(b1+b2+…+bn)=-S  n=

5n-n2

2

；n＞3時(shí)，Tn=-(a1+a2+a3)+(a4+a5+…+an)=Sn-2S3=

n2-5n+12

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式求解，數(shù)列求和，考查了累加法、對(duì)數(shù)的運(yùn)算，分類討論的思想方法．