Question

2．等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₂=4，S₄=16，數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n+a_n+1，則數(shù)列{b_n}的前9和T₉=180．

Answer 1

分析 設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由b_n=a_n+a_n+1，b_n+1=a_n+1+a_n+2，可得b_n+1-b_n=a_n+1+a_n+2-a_n-a_n+1=2d為常數(shù)，因此數(shù)列{b_n}也為等差數(shù)列．根據(jù)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₂=4，S₄=16，即可得出．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，因?yàn)閎_n=a_n+a_n+1，所以b_n+1=a_n+1+a_n+2，
兩式相減b_n+1-b_n=a_n+1+a_n+2-a_n-a_n+1=2d為常數(shù)，
所以數(shù)列{b_n}也為等差數(shù)列．
因?yàn)閧a_n}為等差數(shù)列，且S₂=4，S₄=16，所以b₁=a₁+a₂=S₂=4，b₃=a₃+a₄=S₄-S₂=12，
所以等差數(shù)列{b_n}的公差$2d=\frac{{{b_3}-{b_1}}}{2}=4$，
所以前n項(xiàng)和公式為${T_n}=4n+\frac{{（{n-1}）n}}{2}×4$=2n²+2n，
所以T₉=180．
故答案為：180．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．