Question

定義在R上的函數(shù)f（x），對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈R，都有f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2成立，且f（1）=2，記a_n=f（n）（n∈N^*），則a₂₀₀₈=________．

Answer 1

2009
分析：先根據(jù)題意利用夾逼原理求出f（x+1）=f（x）+1，再由a_n=f（n）（n∈N^*），f（x+1）=f（x）+1知道數(shù)列{a_n}的遞推關(guān)系，又由f（1）=2，可以判斷數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，通過(guò)等差數(shù)列的定義，求出其通項(xiàng)公式，從而求得a₂₀₀₈的值．
解答：∵對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈R，都有f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2成立
∴f（x）+4≤f（x+2）+2≤f（x+4）≤f（x+1）+3≤f（x+3）+1≤f（x）+4
即f（x）+1≤f（x+1）≤f（x）+1
∴f（x+1）=f（x）+1
：∵a_n=f（n），f（x+1）=f（x）+1
∴a_n+1=a_n+1，又知a₁=f（1）=2，所以有等差數(shù)列的定義，
可知數(shù)列{a_n}是以首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列．
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1，
∴a₂₀₀₈=2009．
故答案為：2009．
點(diǎn)評(píng)：此題考查函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系，及等差數(shù)列的定義，同時(shí)考查了不等式的夾逼法則，是一道綜合題，有一定的難度．