Question

已知一非零向量列{

an

}滿足：

a1

=(1，1)，

an

=(xn，yn)=

1

2

(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)  (n≥2)
（1）證明：{|

an

|}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)θn=?

an

-1，

an

＞  (n≥2)，b_n=2nθ_n-1，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）先利用利用已知條件，利用向量的模的計算求得|

an

|=

2

2

|

an-1

|，根據(jù)等比數(shù)列的定義可推斷出數(shù)列{|

an

|}是以

2

為首項，公比為

2

2

的等比數(shù)列
（2）利用向量的基本性質(zhì)可求得cosθ_n的值，進(jìn)而求得b_n，最后利用等差數(shù)列的求和公式求得答案．

解答：解：（l）∵|

an

|=

1

2

(xn-1-yn-1)2+(xn-1+yn-1)2

=

2

2

x2n-1+ y 2 n-1

=

2

2

|

an

-1|(n≥2)，
又|

a1

|=

2

∴數(shù)列{|

an

|}是以

2

為首項，公比為

2

2

的等比數(shù)列．

（2）∵

an

-1•

an

=(xn-1•yn-1)•

1

2

(xn-1-yn-1•xn-1+yn-1)=

1

2

(

x

2 n-1

+

y

2 n-1

)=

1

2

|

an

-1|2
∴cosθn=

an -1• an

| an -1|•| an |

=

2

2

，∴θn=?

an

-1，

an

＞=

π

4

，∴bn=2nθn-1=

nπ

2

-1Sn=b1+b2++bn=(

π

2

-1)+(

2π

2

-1)++(

nπ

2

-1)=

π

4

(n2+n)-n

點(diǎn)評：本題主要考查了等比數(shù)列的確定．考查了學(xué)生對數(shù)列基礎(chǔ)知識的靈活運(yùn)用．