Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD中點(diǎn)
（1）證明：PE⊥BC
（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值．

Answer 1

分析：以H為原點(diǎn)，HA，HB，HP分別為x，y，z軸，線段HA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系．
（1）表示

PE

，

BC

，計(jì)算

.

PE

•

.

BC

=0，就證明PE⊥BC．
（2）∠APB=∠ADB=60°，求出C，P的坐標(biāo)，再求平面PEH的法向量，
求向量

PA

，然后求

PA

與面PEH的法向量的數(shù)量積，可求直線PA與平面PEH所成角的正弦值．

解答：解：以H為原點(diǎn)，HA，HB，HP分別為x，y，z軸，線段HA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，
建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則A（1，0，0），B（0，1，0）
（Ⅰ）設(shè)C（m，0，0），P（0，0，n）（m＜0，n＞0）
則D(0，m，0)，E(

1

2

，

m

2

，0)．
可得

.

PE

=(

1

2

，

m

2

，-n)，

.

BC

=(m，-1，0)．
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

.

PE

•

.

BC

=

m

2

-

m

2

+0=0
所以PE⊥BC．

（Ⅱ）由已知條件可得m=-

3

3

，n=1，故C（-

3

3

，0，0），D(0，-

3

3

，0)，E(

1

2

，-

3

6

，0)，P(0，0，1)
設(shè)

n

=（x，y，z）為平面PEH的法向量
則

n • HE =0 n • HP =0

即

1 2 x- 3 6 y=0 z=0

因此可以取

n

=(1，

3

，0)，
由

PA

=(1，0，-1)，
可得|cos＜

PA

，

n

＞|=

2

4

所以直線PA與平面PEH所成角的正弦值為

2

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間幾何體中的位置關(guān)系、線面所成的角等知識(shí)，考查空間想象能力以及利用向量法研究空間的位置關(guān)系以及線面角問(wèn)題的能力．