Question

（2012•武昌區(qū)模擬）武漢地區(qū)春天的溫度的變化曲線近似地滿足函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+b（如圖所示，單位：攝氏溫度，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）．
（Ⅰ）寫出這段曲線的函數(shù)解析式；
（Ⅱ）求出一天（t∈[0，24]，單位小時）溫度的變化在[20，25]時的時間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得

A+b=30 A-b=10

，從而可求得A，b，再有函數(shù)圖象可知其周期為16，從而可求得ω，進一步可求得φ，于是可求得這段曲線的函數(shù)解析式；
（Ⅱ）依題意可得0≤sin（

π

8

x+

3π

4

）≤

1

2

，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)有2kπ≤

π

8

x+

3π

4

≤2kπ+

π

6

，或2kπ+

5π

6

≤

π

8

x+

3π

4

≤2kπ+π，分別對k賦值即可求得答案．

解答：解：（Ⅰ）由條件可知

A+b=30 A-b=10

解得

A=10 b=20

，
因為

1

2

×

2π

ω

=14-6，所以ω=

π

8

，
∴y=10sin（

π

8

x+φ）+20；
將點（6，10）代入上式，得φ=

3π

4

．
∴解析式是y=10sin（

π

8

x+

3π

4

）+20．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），令20≤10sin（

π

8

x+

3π

4

）+20≤25，
得0≤sin（

π

8

x+

3π

4

）≤

1

2

．
∴2kπ≤

π

8

x+

3π

4

≤2kπ+

π

6

，…①
或2kπ+

5π

6

≤

π

8

x+

3π

4

≤2kπ+π，…②
由①得16k-6≤x≤16k-6+

4

3

．取k=1，得10≤x≤11+

1

3

．
由②得16k+

2

3

≤x≤16k+2．取k=0，得

2

3

≤x≤2；
取k=1，得16+

2

3

≤x≤18．
即一天溫度的變化在[20，25]時的時間是0：40～2：00，10：00～11：20，16：40～18：00三個時間段，共4小時…（12分）

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，著重考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，賦值法的應(yīng)用是難點，屬于中檔題．