Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（1，

3

2

），且長軸長等于4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）F₁，F(xiàn)₂是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，⊙O是以F₁，F(xiàn)₂為直徑的圓，直線l：y=kx+m與⊙O相切，并與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，若

OA

•

OB

=-

3

2

，求k的值．

Answer 1

分析：（I）由題意長軸長為4求得a的值，在有橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（1，

3

2

）建立方程求解即可；
（II）由于圓O是以F₁，F(xiàn)₂為直徑的圓，直線l：y=kx+m與⊙O相切，利用直線與圓相切的從要條件得到一個(gè)等式，把直線方程與橢圓方程聯(lián)立利用整體代換的思想，根據(jù)

OA

•

OB

=-

3

2

建立k的方程求k．

解答：解：（I）有題義長軸長為4，即2a=4，解得：a=2，
∵點(diǎn)(1，

3

2

)在橢圓上，∴

1

4

+

9

4b2

=1 解得：b²=3
橢圓的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1；
（II）由直線l與圓O相切，得：

|m|

1+k2

=1，即：m2=1+k2
設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）    由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

  消去y，
整理得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴x1+x2=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=k2

4m2-12

3+4k2

+km(-

8km

3+4k2

)+m2=

3m2-12k2

3+4k2

∴x1x2+y1y2=

4m2-12

3+4k2

+

3m2+2k2

3+4k2

=

7m2-12k2-12

3+4k2

∵m²=1+k²∴x1x2+y1y2=

-5-5k2

3+4k2

=-

3

2

，
解得：k2=

1

2

，
∴k的值為：±

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了橢圓的基本性質(zhì)及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，還考查了直線方程與橢圓方程聯(lián)立之后的整體代換設(shè)而不求，還有求解問題時(shí)方程的思想．